Pendulo Wilberforce

El péndulo de Wilberforce es un conocido dispositivo para verificar el principio de la conservación de la energía. Se puede además, mostrar las oscilaciones acopladas de los modos longitudinales y torsionales de un cuerpo de forma cilíndrica que cuelga de un muelle en forma de hélice.
En esta página, vamos a resolver las ecuaciones del movimiento: de traslación y de rotación alrededor del eje vertical, a calcular las frecuencias de los modos normales de oscilación, y a determinar las condiciones iniciales que hacen que el sistema describa un modo normal de oscilación.

Ecuaciones del movimiento

Sea kx la constante elástica del muelle en las oscilaciones longitudinales y kq a constante en las oscilaciones torsionales. Sea x el desplazamiento vertical del muelle de la posición de equilibrio, y q el ángulo de rotación alrededor del eje vertical.
El acoplamiento entre los dos modos de oscilación está descrito por una función lineal de la forma εxq /2, donde ε se denomina constante de acoplamiento.
La energía del sistema es la suma de la energía cinética de traslación del bloque, de rotación alrededor del eje vertical, la energía potencial del muelle cuando se deforma una longitud x, y cuando gira un ángulo θ, y la energía de acoplamiento


Las ecuaciones del movimiento de Lagrange nos llevan al sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden. La lagrangiana L=Ek-Ep, con los símbolos se escribe

Las ecuaciones del movimiento son:

En ausencia del término de acoplamiento ε=0 las ecuaciones diferenciales describen dos Movimientos Armónicos Simples de frecuencias angulares

Eliminamos x en el sistema de dos ecuaciones diferenciales

Suponiendo una solución de la forma

e insertándola en la ecuación diferencial de cuarto orden en θ, obtenemos la ecuación bicuadrada

Las dos raíces reales de esta ecuación son las frecuencias ω1 y ω2 de los modos normales de vibración

La forma general del ángulo θ de rotación en función del tiempo t es una combinación de los dos modos normales de vibración

La velocidad angular de rotación es

Para calcular la posición x(t), se introduce θ(t) y su derivada segunda en la ecuación diferencial de segundo orden que describe la rotación del cilindro.

La velocidad del c.m. del cilindro es

Las condiciones iniciales determinan los valores de los coeficientes A, B, C, D.
Desplazamos el cilindro x0 y lo giramos un ángulo θ0 y a continuación lo soltamos. La velocidad inicial es dx/dt=0, dθ/dt=0 en el instante t=0.
Tenemos que resolver el sistema de cuatro ecuaciones

Despejamos las incógnitas A, B, C, y D
A=C=0

Las expresiones de la posición x y θ y velocidad dx/dt y dθ/dt en función del tiempo son

Varilla que pende de dos muelles

consistente en una varilla delgada que cuelga de dos muelles elásticos, tal como se muestra en la figura. El centro de masas se mueve hacia arriba y hacia abajo y experimenta oscilaciones rotacionales alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m.



Este ejemplo, es similar al péndulo de Wilberforce, pero con algunas notables diferencias:
Las ecuaciones del movimiento del péndulo de Wilberforce se obtienen a partir de las ecuaciones de Lagrange:
Las ecuaciones del movimiento de este sistema se obtienen a partir de las leyes de Newton
Sin embargo, en este ejemplo, estudiamos el sistema cuando los desplazamientos de la posición de equilibrio son pequeños, para que las ecuaciones del movimiento sean lineales.

Equilibrio
La varilla delgada de masa m kg y longitud L pende de dos muelles elásticos verticales de constantes k1 y k2 y de longitudes l01 y l02 sin deformar, situados a una distancia d1 y d2 a uno y otro lado del c.m de la varilla



La fuerza que ejerce el muelle situado a la izquierda del c.m. es F1=k1x1, donde x1 es la deformación del muelle
La fuerza que ejerce el muelle situado a la derecha del c.m. es F2=k2x2, donde x2 es la deformación del muelle
Cuando la varilla está en equilibrio en posición horizontal. La resultante de las fuerzas sobre la varilla debe ser cero y el momento resultante respecto del c.m. debe ser cero.



Despejamos x1 y x2

El muelle de la izquierda se ha de colgar de un punto situado a l1=l01+x1 por encima de la varilla horizontal
El muelle de la derecha se ha de colgar de un punto situado a l2=l02+x2 por encima de la varilla horizontal

Ecuaciones del movimiento
Como caso del péndulo, supondremos que el sistema realiza pequeños desplazamientos respecto de la posición de equilibrio para que las ecuaciones del movimiento sean lineales.
Supongamos que en el instante t, el c.m. de la varilla se ha elevado y sobre la posición de equilibrio, y ha girado un ángulo θ, respecto de la posición horizontal.

La deformación del muelle izquierdo es l1-l01-y1= x1-y1, y la fuerza que ejerce el muelle izquierdo sobre la varilla es F1=k1(x1-y1)
La deformación del muelle derecho es l2-l02-y2= x2-y2, y la fuerza que ejerce el muelle izquierdo sobre la varilla es F2=k2(x2-y2)

La ecuación del movimiento de traslación del c.m es

La ecuación del movimiento de rotación alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m. es

es el momento de inercia de la varilla de longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m.
Relacionamos los desplazamientos y1 e y2 de los puntos de enganche de los muelles con la varilla con el desplazamiento y del cm. y con el ángulo θ girado por la varilla que supondremos de nuevo, que es pequeño, para que las ecuaciones del movimiento sean lineales

Las dos ecuaciones diferenciales del movimiento las escribimos en términos del desplazamiento y del c.m. y del ángulo girado θ por la varilla.

Definimos los siguientes parámetros

Las dos ecuaciones se escriben en términos de dichos parámetros, del siguiente modo

Para eliminar el ángulo θ, calculamos la derivada segunda de la primera ecuación diferencial

que con las otras dos, da lugar la ecuación diferencial de cuarto orden en y

Ensayamos una solución de la forma

Calculamos la derivada segunda y la derivada cuarta de y y las introducimos en la ecuación diferencial de cuarto orden, obteniendo la siguiente ecuación bicuadrada en ω.

cuyas raíces reales son

La forma general del ángulo y en función del tiempo t es una combinación lineal de los dos modos normales de vibración

La velocidad del c.m. es

Para calcular el ángulo θ(t) girado por la varilla en función del tiempo, se introduce x(t) y su derivada segunda en la ecuación diferencial de segundo orden que describe el movimiento del c.m. de la varilla

resultando

La velocidad de rotación de la varilla es

Las condiciones iniciales determinan los valores de los coeficientes A, B, C, D.
Desplazamos el cm de la varilla y0 y la giramos un ángulo θ0 y a continuación la soltamos. La velocidad inicial es dy/dt=0, dθ/dt=0 en el instante t=0.
Tenemos que resolver el sistema de cuatro ecuaciones

Despejamos A, B, C, y D

A=C=0

Las expresiones de la posición x y θ y velocidad dx/dt y dθ/dt en función del tiempo son