En esta página, vamos a resolver las ecuaciones del movimiento: de traslación y de rotación alrededor del eje vertical, a calcular las frecuencias de los modos normales de oscilación, y a determinar las condiciones iniciales que hacen que el sistema describa un modo normal de oscilación.
Ecuaciones del movimiento
Sea kx la constante elástica del muelle en las oscilaciones longitudinales y kq a constante en las oscilaciones torsionales. Sea x el desplazamiento vertical del muelle de la posición de equilibrio, y q el ángulo de rotación alrededor del eje vertical.
El acoplamiento entre los dos modos de oscilación está descrito por una función lineal de la forma εxq /2, donde ε se denomina constante de acoplamiento.
La energía del sistema es la suma de la energía cinética de traslación del bloque, de rotación alrededor del eje vertical, la energía potencial del muelle cuando se deforma una longitud x, y cuando gira un ángulo θ, y la energía de acoplamiento
Las ecuaciones del movimiento de Lagrange nos llevan al sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden. La lagrangiana L=Ek-Ep, con los símbolos
se escribe
Las ecuaciones del movimiento son:
En ausencia del término de acoplamiento ε=0 las ecuaciones diferenciales describen dos Movimientos Armónicos Simples de frecuencias angulares
Eliminamos x en el sistema de dos ecuaciones diferenciales
Suponiendo una solución de la forma
e insertándola en la ecuación diferencial de cuarto orden en θ, obtenemos la ecuación bicuadrada
Las dos raíces reales de esta ecuación son las frecuencias ω1 y ω2 de los modos normales de vibración
La forma general del ángulo θ de rotación en función del tiempo t es una combinación de los dos modos normales de vibración
La velocidad angular de rotación es
Para calcular la posición x(t), se introduce θ(t) y su derivada segunda en la ecuación diferencial de segundo orden que describe la rotación del cilindro.
La velocidad del c.m. del cilindro es
Las condiciones iniciales determinan los valores de los coeficientes A, B, C, D.
Desplazamos el cilindro x0 y lo giramos un ángulo θ0 y a continuación lo soltamos. La velocidad inicial es dx/dt=0, dθ/dt=0 en el instante t=0.
Tenemos que resolver el sistema de cuatro ecuaciones
Despejamos las incógnitas A, B, C, y D
A=C=0
Las expresiones de la posición x y θ y velocidad dx/dt y dθ/dt en función del tiempo son
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